JEUX ARITHMÉTIQUES – SUITE
II – A.
La somme d’une suite complète de cubes d’entiers naturels est égale au carré de la somme de ces entiers naturels.
Soit :
13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + 2 + 3 + … + n)2
Ex. 1 :
13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36
(1 + 2 + 3)2 = 62 = 36
Ex. 2 :
13 + 23 + 33 +43 + 53 + 63 +73 +83 +93 +103 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 + 1000 = 3025
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10)2 = 552 = 3025
II – B, 1.
Le cube de n (entier naturel) est égal à la somme du cube de (n – 1) et d’un nombre premier formé d’un « multiple de six plus un ».
Ce « multiple de six plus un » est égal à la somme de la suite complète des entiers naturels de 1 à (n – 1) multipliée par 6, le tout plus 1.
Soit :
n3 = (n – 1)3 + ([(1 + 2 + 3 +…+ (n – 1)) x 6] + 1)
Ex. :
53 = 125
53 = (5 – 1)3 + ([(1 + 2 + 3 + 4) x 6] + 1) = 43 + ([10 x 6] + 1) = 64 + 61 = 125
II – B, 2.
Tableau général récapitulatif.
|
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CUBES |
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NOMBRES PREMIERS |
total |
|
13 |
= |
03, soit 0 |
+ |
[(0+0) x6] + 1, soit 0 + 1 = 1 |
1 |
|
23 |
= |
13, soit 1 |
+ |
[(0+1) x 6] + 1,soit 6 + 1 = 7 |
8 |
|
33 |
= |
23, soit 8 |
+ |
[(1+2) x 6] + 1,soit 18 + 1 = 19 |
27 |
|
43 |
= |
33, soit 27 |
+ |
[(3+3) x 6] + 1,soit 36 + 1 = 37 |
64 |
|
53 |
= |
43, soit 64 |
+ |
[(6+4) x 6] + 1, soit 60 + 1 = 61 |
125 |
Dans (3+3), (6+4) il faut lire : (1+2+3), (1+2+3+4), etc.
La suite au prochain numéro.
lequichotte 
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